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Fundamental II
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Topic starter
27/11/2023 6:12 pm
151x ≡ 11 (mod 245)
15/12/2023 11:00 am
$$ \text{Oi, Daniel. Segue uma solução do seu problema elaborada pelo prof Joao Luiz.}$$
$$ 151x ≡ 11 (mod~245), 151x ~ – ~ 11 = 245, ~ \text{com} ~ y \in \mathbb{Z}.$$
$$ \text{Observe que} ~ 151x ~ – ~ 245y = 11 ~ \text{é uma equação Diofantina.} $$
$$ \text{Como o mdc entre} ~ 151 ~ e ~ 245 ~ \text{divide} ~ 11, \text{então a equação possui solução.} $$
$$ \text{Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros r e s tais que} ~ 151r + 245s = mdc(151, 245). $$
$$ \text{De fato, aplicando o algoritmo de Euclides encontramos} ~ r = 86, s = -53 ~ e ~ mdc(151, 245) = 1.$$
$$ \text{Assim, temos} ~151.(83) + 245.(-53) = 1. $$
$$ \text{Multiplicando ambos os membros da igualdade por 11 e trocando de posição}$$
$$\text{convenientemente o sinal negativo, teremos} ~ 151.946 ~ – ~ 245.583 = 11. $$
$$\text{Note que} ~ x_{0}= 946 ~ e ~ y_{0} = 583 ~ \text{é uma solução particular da equação}$$
$$ \text{Diofantina que obtemos anteriormente, e suas soluções são do tipo:} $$
$$ x = x_{0} + bt ~ \text{e} ~ y = y_{0} ~ – ~ at, ~ \text{com} ~ t \in \mathbb{Z}. $$
$$ x = 946 + (-245)t ~ e ~ y = 583 – 151t, ~ com ~ t \in \mathbb{Z}. $$
$$ \text{Retornando a equação inicial,} ~ 151x ≡ 11 (mod~245) ~ \text{observa-se que todo número}$$
$$\text{da forma} ~ x = 946 + (-245)t, \text{com} ~ t \in \mathbb{Z}, ~ \text{é solução para a equação.}$$
$$ \text{Como} ~ 945 ≡ 211 (mod~245), \text{essa solução pode ser escrita da forma} $$
$$ x = 211 + 245k, com ~ k\in \mathbb{Z} $$
