Fala, João!

Excelente questão.

Vamos lá:

Queremos obter x de modo que $$ |\log_{\frac{1}{2}}{|x|}| + |\log_{2}{|x|}| < 4$$ para isso, o primeiro passo pode ser escrevermos os dois logaritmos sob a mesma base. (Escolhi base 2, ok?)

$$ |\log_{2^{-1}}{|x|}| + |\log_{2}{|x|}| < 4$$

$$ |- \log_2{|x|}| + |\log_{2}{|x|}| < 4$$

$$ |\log_2{|x|}| + |\log_{2}{|x|}| < 4$$

$$ 2 |\log_{2}{|x|}| < 4$$

$$|\log_{2}{|x|}| < 2$$

Até aqui foi tranquilo, certo?

vamos então analisar o que ocorre com a retirada do módulo.

$$ -2 < \log_{2}{|x|} < 2 $$

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

$$ 2^{-2} < |x| < 2^{2} $$

Dessa forma, precisamos avaliar conjuntamente as duas situações abaixo.

$$ \begin{cases} Se, |x| > \frac{1}{4}, então ~x < \frac{-1}{4}  ~ou~ x > \frac {1}{4} \\ Se |x| < 4, então~ -4 < x < 4 \end{cases} $$

Observando a condição de existência do logaritmo $$ ( x ≠ 0 ) $$ e a interseção das situações mostradas acima, temos:

 $$ - 4 < x < \frac {-1}{4} ~ou~ \frac {1}{4} < x < 4 $$